En küçük kareler (EKK) yöntemi, regrasyon ve korelasyon;
En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Method), veri noktaları arasındaki ilişkiyi açıklayan bir doğrusal modelin parametrelerini belirlemek için kullanılan istatistiksel bir yöntemdir. Bu yöntem, veri noktaları arasındaki hata karelerinin toplamını en aza indirecek şekilde model parametrelerini tahmin eder. Genellikle, bir bağımlı değişkenin bir veya daha fazla bağımsız değişken tarafından nasıl etkilendiğini anlamak için kullanılır. En Küçük Kareler Yöntemi, regresyon analizinin temelini oluşturur. Basit regresyon ve çoklu regresyon olmak üzere iki temel türü bulunur.
Regrasyon, değişkenler arasındaki ilişkilerin fonksiyonel şekillerini belirlerken, neden durumunda olan değişkenler bağımsız, sonuç durumunda olan değişkenler ise bağımlı değişken olarak tanımlanır.
Basit regrasyon; Bir bağımlı değişkenin bir bağımsız değişken tarafından nasıl etkilendiğini modellemek için kullanılır.
y = a0 + a1 X + Ɛ
Şeklinde ifade edilir. Burada;
y : bağımlı değişken,
X : bağımsız değişken,
a0 : regresyon doğrusunun Y eksenini kestiği değer,
a1 : regresyon doğrusunun eğimi,
Ɛ: rastgele (rassal) hatadır.
Çoklu regrasyon; Birden fazla bağımsız değişkenin bir bağımlı değişken üzerindeki etkisini modellemek için kullanılır.
yi = β0 + β1 x1i + β2 x2i +……………….+ βn xni + Ɛi
Denklemiyle ifade edilir. Burada,
Xni, i. olay için n bağımsız değişkeninin değerini
β ise, bilinmeyen parametreleri gösterir.
Korelasyon katsayısı (r) ; Bu katsayı, bir değişkende herhangi bir değişme olduğunda diğer değişkende ne kadar değişme olacağı hakkında bilgi verir. Değişkenler arasında veya değişkenlerle çevre şartları arasında korelasyonun varlığı ve derecesi korelasyon katsayısı (r) olarak kabul edilir. Korelasyon katsayısı 1 ile -1 arasında değişir, dolaysıyla ondalık olarak belirtilen bir değerdir ve bu katsayı iki değişken arasındaki ilişkinin doğasını gösterir 1 mükemmel pozitif korelasyonu, -1 mükemmel negatif korelasyonu ve 0 ise ilişki yokluğunu ifade eder. Katsayı hesabında farklı metot ve formüller vardır.
Poisson dağılımı
Zaman serilerinin çözümlenmesinde kullanılan klasik yöntemler çeşitli araştırmacılarca rastgele bir deprem dizisini analitik olarak modellemekte kullanılmıştır. Deprem oluşumunu modellemekte en çok kullanılan yöntem Poisson modelidir. Poisson dağılımı, belirli bir zaman aralığında nadir olayların (örneğin, depremlerin) olasılığını modellemek için ve belirli bir zaman aralığında kaç deprem beklenildiğini tahmin etmek için kullanılabilir.
Belirli bir deprem büyüklüğünün aşılması olayında, t zaman aralığında en az 1 aşılmanın probabilitesi;
P[N≥1] = 1 – e^(λt)
Burada:
λ: olayın ortalama oluş oranı
t: herhangi bir zaman aralığıdır.
Poisson modeline göre bir sonraki depremin oluşması için geçen bekleme zamanının dağılımı, bir önceki depremin oluşundan itibaren geçen zamandan etkilenmez ve istatistik veriler Poisson modelinin büyük depremler için geçerli olduğunu göstermektedir.
Magnitüd - frekans ilişkisi; Magnitüdün bir fonksiyonu olarak depremlerin oluş frekanslarını belirlemekte en geniş ölçüde kullanılan formül Gutenberg-Richter bağıntısıdır.
Log N = a + b M
t süresine göre normalleştirilmiş dağılım fonksiyonu,
R (Nt_t = n ) = (Nmt)n / n!
Bu bağıntı bir D süresinde oluşmuş M > Mo olan n adet depremin olma olasılığını vermektedir.
Gumbel uç değerler;
Gumbel dağılımı, ekstrem değer teorisi kapsamında kullanılan bir olasılık dağılımıdır. Bu dağılım, özellikle en büyük veya en küçük değerlerin olasılığını modellemek için kullanılır.
Gumbel dağılımı, iki parametre ile tanımlanır: konum parametresi (μ) ve ölçek parametresi (β).
Gumbel dağılımı, genellikle aşağıdaki yoğunluk fonksiyonu ile ifade edilir:
f(x;µ,ꞵ) = 1/βe^(-(z+e^(-z))),
z = (z-μ)/β
Gumbel dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF) şu şekilde ifade edilir,
f(x;µ,ꞵ) = e^(-(e^(-z)),
Gumbel dağılımının beklenen değeri ve varyansı ise,
E[X] = µ + γꞵ , Var(X) = ((π^2)/6) / β ^2
Burada, γ: Euler-Mascheroni sabitidir.
G(M) = exp(-α D exp(-ꞵ M))
Bu denklemde G(M), belirli bir deprem büyüklüğü M için Gumbel dağılımının yoğunluk fonksiyonunu temsil eder. Bu yoğunluk fonksiyonu, deprem büyüklüğünün belirli bir değeri M için olasılığını ifade eder. D, deprem verisi içeren belirli bir bölgedeki veri kümesinin örnekleme boyutunu temsil eder. α ve ꞵ ise, veri setine uyarlanmış Gumbel dağılımının parametreleridir. Bu parametreler, Gumbel dağılımının konum (µ) ve ölçek (ꞵ) parametrelerine karşılık gelir.
PRB = 1 – G(M)
Bu denklemde, PRB deprem riskinin olasılığını ifade eder. G(M) ise belirli bir deprem büyüklüğü (M) için Gumbel dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonunu temsil eder. Bu fonksiyon, deprem büyüklüğünün belirli bir eşiği aşma olasılığını ifade eder. Yani, PRB deprem riski olasılığı, belirli bir eşiği aşma olasılığının tamamlayıcı olasılığını veya belirli bir deprem büyüklüğünün belirli bir eşiği aşma olasılığına karşı koruma seviyesini ifade eder.